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C++ 快速傅里叶算法实现
2023-07-05 00:22:18 深夜i     27     0
C++ 快速傅里叶算法 实现

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)是一种常用的信号分析方法,广泛应用于音频处理、图像处理以及数据压缩等领域。在计算机领域中,C++ 是一种经典的编程语言,很多计算科学领域的复杂计算都是基于 C++ 实现的。因此,本文将介绍如何使用 C++ 实现快速傅里叶变换算法。

首先,我们需要了解什么是快速傅里叶变换。傅里叶变换是一种将一个信号从时间域转换至频域的方法,变换后的结果可以用来描述信号的频率和相位信息。傅里叶变换包括离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)和连续傅里叶变换(Continuous Fourier Transform,CFT)两种形式,其中 DFT 是在计算机领域中应用较为广泛的一种。然而,普通的 DFT 算法计算速度较慢,当数据量较大时,计算复杂度会非常高,因此需要采用更高效的算法,即快速傅里叶变换。

快速傅里叶变换算法基于蝴蝶算法(Butterfly Algorithm),采用分治思想,将大问题分割成小问题求解,最终合并起来得到答案。快速傅里叶变换算法的实现过程主要包括以下步骤:

1. 将输入的 N 个数据按照蝴蝶算法的规则分成两半,根据DFT公式计算出每一半的 DFT 值;

2. 将计算出的 DFT 值按照蝴蝶算法的规则相加,得到最终的 DFT 值。

以下是用 C++ 语言实现快速傅里叶变换算法的代码示例:

#include <bits/stdc++.h>
#define pi acos(-1)
using namespace std;
typedef complex<double> cp;
void fft(vector<cp> &a, bool inv) {
  int n = a.size();
  for (int i = 1, j = 0; i < n; ++i) {
    int k = n;
    while (j >= k) j -= k, k >>= 1;
    j += k;
    if (i < j) swap(a[i], a[j]);
  }
  for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) {
    double ang = 2 * pi / len * (inv ? -1 : 1);
    cp wlen(cos(ang), sin(ang));
    for (int i = 0; i < n; i += len) {
      cp w(1);
      for (int j = 0; j < len / 2; ++j) {
        cp u = a[i + j], v = a[i + j + len / 2] * w;
        a[i + j] = u + v;
        a[i + j + len / 2] = u - v;
        w *= wlen;
      }
    }
  }
  if (inv) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] /= n;
  }
}
int main() {
  int n = 4;
  vector<cp> a(n, 0), b(n, 0);
  for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = cp(i + 1, 0), b[i] = cp(i % 2 == 0 ? 1 : -1, 0);
  fft(a, false);
  fft(b, false);
  for (int i = 0; i < n; ++i) printf("%.0lf+%.0lfi ", a[i].real(), a[i].imag());
  putchar('\n');
  for (int i = 0; i < n; ++i) printf("%.0lf+%.0lfi ", b[i].real(), b[i].imag());
  putchar('\n');
  for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] *= b[i];
  fft(a, true);
  for (int i = 0; i < n; ++i) printf("%.0lf+%.0lfi ", a[i].real(), a[i].imag());
  putchar('\n');
  return 0;
}

上述代码实现了两个多项式的乘法,分别为 (1+0i)·x^0 + (2+0i)·x^1 + (3+0i)·x^2 + (4+0i)·^3 和 1·x^0 - 1·x^1 + 1·x^2 - 1·x^3。通过调用 fft 函数计算出两个多项式的 DFT 值,然后依据 DFT 公式计算得到最终的 DFT 值,最后再通过 fft 函数的 inv 参数计算得到对应的离散傅里叶变换。

总结:C++ 编程语言在计算科学领域中有着广泛的应用,快速傅里叶变换算法的实现也是其中之一。通过上述代码示例,我们为大家介绍了如何使用 C++ 实现快速傅里叶变换算法,并提供了一个多项式乘法的实例。在实际应用中,我们可以根据具体场景选择合适的算法和数据结构,提高计算效率和准确性,为相关领域的研究和发展做出贡献。

  
  

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