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C++动态规划算法解决01背包问题

2023-07-05 13:23:44 深夜i -- --

C++ 动态规划算法 01背包问题解决

背包问题是动态规划算法中经典的问题，它的解决方法可以帮助我们更好地了解动态规划算法的思想和技巧。01背包问题是背包问题中最基本的问题，它的解决方法也是动态规划算法中最简单的一种。

在01背包问题中，有一个背包和一些物品，每个物品有一定的重量和价值，我们需要把物品放入背包中，使得背包中所装物品的价值最大，同时背包的容量有限，不能超过一个给定的值。这个问题可以用动态规划算法来解决，具体的思路如下：

1. 定义状态

设 f(i,j) 表示前i个物品放入容量为 j 的背包中所得到的最大价值。

2. 状态转移

在放第i个物品时，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。

如果放入背包中，我们需要从前i-1个物品中选择一些物品放到容量为j-wi的背包中，这时 f(i,j) = f(i-1,j-wi)+vi。

如果不放入背包中，我们选择前i-1个物品放入容量为j的背包中，这时 f(i,j) = f(i-1,j)。

综上所述，我们可以得到状态转移方程：f(i,j) = max{f(i-1,j-wi)+vi, f(i-1,j)}。

3. 边界条件

当 i=0 或 j=0 时，f(i,j)=0。

4. 求解最优解

最终的最优解为 f(n,C)，其中n表示物品的个数，C表示背包的容量。

通过以上步骤，我们就可以解决01背包问题。具体的实现过程可以使用C++编程语言来实现。下面是一段C++代码实现：


#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[1001][1001],w[1001],v[1001];
int main()
{
  int n,C;
  cin>>n>>C;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>w[i]>>v[i];
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    for(int j=1;j<=C;j++)
    {
      f[i][j]=f[i-1][j];
      if(j>=w[i])
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
    }
  }
  cout<<f[n][C]<<endl;
  return 0;
}

以上代码使用了一个二维数组 f 来保存状态，其中 f[i][j] 表示前i个物品放入容量为j的背包中所得到的最大价值。我们可以看到，在实现过程中，我们遵循了上述步骤，先定义状态、再进行状态转移，最后得到最优解。

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