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C++求逆矩阵函数

2023-07-10 18:19:54 深夜i 26 0

C++ 求逆矩阵函数

对于线性代数中的矩阵求逆问题，在C++中我们可以使用众多的数学库来实现。然而，对于一些小的矩阵求逆问题，我们也可以自己实现求逆矩阵函数。

求逆矩阵的基本原理是利用矩阵的行列式和伴随矩阵来计算出逆矩阵。具体来说，若A为n阶可逆矩阵，则它的逆矩阵B的行列式（det）和伴随矩阵（adj）可以通过如下公式计算得到：

$$ det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_jM_i $$

$$ adj(A)=(M_j)^T $$

其中M为A的代数余子式矩阵，其元素Mi,j等于去掉第i行和第j列后的剩余矩阵的行列式乘以-1^(i+j)。

有了这两个公式，我们就可以写出求逆矩阵的C++代码。具体流程如下：

1. 判断矩阵是否为方阵和可逆矩阵（判定矩阵行列式是否为0）；

2. 计算伴随矩阵（通过对每个元素求其代数余子式）；

3. 计算逆矩阵（将伴随矩阵的每个元素除以矩阵的行列式）。

下面是一个简单的示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
//定义矩阵类型
typedef vector<vector<double>> Matrix;
//计算矩阵行列式
double GetMatrixDet(const Matrix &mat)
{
  int n = mat.size();
  double det = 0;
  if(n == 1)
  {
    return mat[0][0];
  }
  else
  {
    int sign = 1;
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
      Matrix subMat(n-1, vector<double>(n-1));
      for(int j = 0; j < n-1; ++j)
      {
        for(int k = 0; k < n-1; ++k)
        {
          subMat[j][k] = mat[j+1][k>=i ? k+1 : k];
        }
      }
      det += sign * mat[0][i] * GetMatrixDet(subMat);
      sign *= -1;
    }
    return det;
  }
}
//计算矩阵的代数余子式矩阵
Matrix GetMatrixCoFactor(const Matrix &mat)
{
  int n = mat.size();
  Matrix cofactor(n, vector<double>(n));
  int sign = 1;
  for(int i = 0; i < n; ++i)
  {
    for(int j = 0; j < n; ++j)
    {
      Matrix subMat(n-1, vector<double>(n-1));
      for(int k = 0; k < n-1; ++k)
      {
        for(int l = 0; l < n-1; ++l)
        {
          subMat[k][l] = mat[k>=i ? k+1 : k][l>=j ? l+1 : l];
        }
      }
      cofactor[i][j] = sign * GetMatrixDet(subMat);
      sign *= -1;
    }
    if(n % 2 == 0) sign *= -1;
  }
  return cofactor;
}
//计算矩阵的逆矩阵
Matrix GetMatrixInverse(const Matrix &mat)
{
  int n = mat.size();
  Matrix inverse(n, vector<double>(n));
  double det = GetMatrixDet(mat);
  if(abs(det) < 1e-6)
  
    cout << "Matrix is not invertible!";
    return inverse;
  
  else
  {
    Matrix cofactor = GetMatrixCoFactor(mat);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
      for(int j = 0; j < n; ++j)
      {
        inverse[i][j] = cofactor[j][i] / det;
      }
    }
    return inverse;
  }
}
int main()
{
  Matrix mat = {1, 6, 9};
  Matrix inverse = GetMatrixInverse(mat);
  for(int i = 0; i < 3; ++i)
  {
    for(int j = 0; j < 3; ++j)
    {
      cout << inverse[i][j] << " ";
    }
    cout << endl;
  }
  return 0;
}

值得注意的是，由于矩阵求逆的计算复杂度为O(N^3)，因此在处理大规模矩阵时，我们仍应使用库函数进行求解，以确保性能和准确性。

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