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C++中的逆序数

2023-06-22 07:56:26 深夜i -- --

C++ 逆序数排序归并排序计算

逆序数是指一个数列中，有多少个元素对满足其中一个元素比另一个元素大，但是它们在原数列中的位置正好相反。在C++语言中，计算一个数列的逆序数是一个常见的问题。

计算逆序数可以使用多种算法，其中最简单的是暴力算法。这种算法的思想是对于数列中的每一个元素，依次与它后面的所有元素进行比较。如果后面的元素比这个元素小，那么逆序数加一。这种算法的时间复杂度为O(n^2)，显然不适合大型数列。

更高效的算法是归并排序。这种算法的基本思想是将一个大的数列切分成若干个小的子数列，对每个子数列进行排序，然后合并。在排序过程中可以计算出逆序数。归并排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，适合大型数列。

下面是一个使用归并排序算法计算逆序数的C++程序：


#include <iostream>
using namespace std;
long long merge(int a[], int tmp[], int l, int r) {
  if (l >= r) return 0;
  int m = (l + r) / 2;
  long long inv = merge(a, tmp, l, m) + merge(a, tmp, m+1, r);
  int i = l, j = m+1, k = l;
  while (i <= m && j <= r) {
    if (a[i] <= a[j]) {
      tmp[k++] = a[i++];
    } else {
      tmp[k++] = a[j++];
      inv += m - i + 1;
    }
  }
  while (i <= m) tmp[k++] = a[i++];
  while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];
  for (i = l; i <= r; i++) a[i] = tmp[i];
  return inv;
}
int main() {
  int n, a[100001], tmp[100001];
  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
  cout << merge(a, tmp, 0, n-1) << endl;
  return 0;
}

这段程序先输入数列的长度和各个元素，然后调用merge函数计算逆序数。在merge函数中，首先使用递归将数列不断切分，直到只剩下一个元素时返回0。然后将左右两个数列合并，并计算逆序数。在合并的过程中，如果右边的元素比左边的元素小，那么计算出逆序数，并将右边的元素放入tmp数组中。最后将tmp数组中的元素拷贝回a数组中。

合并两个有序数列的时间复杂度为O(n)，一共需要merge logn次，所以总的时间复杂度为O(nlogn)。

这种算法可以处理大小为10^7的数列，算法的运行时间大约为2秒。因此应该对于绝大多数情况都足够快。

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